KONŠTRUKČNÉ ÚLOHY VII. – Kružnica opísaná trojuholníku

Úlohu riešime tak, že najskôr zostrojíme samotný 3-uholník podľa zadania a následne konštrukčne (bez pomocných číselných výpočtov) riešime hľadanú opísanú kružnicu.

K zostrojeniu opísanej kružnice k 3-uholníku musíme vedieť určiť stred S opísanej kružnice a jej polomer r. Stred S získame konštrukčne ako prienik osí všetkých strán 3-uholníka. Polomer r opísanej kružnice získame konštrukčne ako spojnice stredu S a vrcholov 3-uholníka – tzv. dotykové body T1≅A, T2≅B, T3≅C, v ktorých sa opísaná kružnica k zvonka dotýka vrcholov 3-uholníka. (T1≅A znamená, že bod T1 je zhodný s bodom A.)

Pri riešení takejto úlohy sa predpokladá základná znalosť konštrukcie 3-uholníka, preto už nie je podstatné spísanie príkladu v bodoch rozbor, postup konštrukcie, skúška, záver (riešenie je vždy len jediné). Najdôležitejšie a najnáročnejšie je samotné technické prevedenie úlohy. Skúška sa robí okulárne v bodoch dotyku – hneď vidno, či sa kružnica vrcholu dotýka, alebo ho presahuje zvonka, alebo ho vôbec nedosahuje.

Popis k obrázku:

o1, o2, o3 – osi strán. Každá strana/úsečka má len jednu os, ktorá ju rozdeľuje na 2 rovnaké polovice. Os strany – úsečky AB zostrojíme pomocou kružnicových oblúkov nasledovne:

Najprv zapichneme kružidlo do jedného krajného bodu úsečky (vrcholu A) a odhadom zvolíme polomer väčší než polovica dĺžky strany. Časť oblúka narysujeme nad úsečkou, časť oblúka pod úsečkou. Polomer zachováme a prepichneme kružidlo do druhého krajného bodu úsečky (vrcholu B). Opäť narysujeme časť oblúka nad úsečkou, časť pod úsečkou tak, aby sa oblúky odpichnuté z oboch vrcholov preťali. Priesečníky spojíme priamkou, ktorá je kolmá na danú úsečku a zároveň ju delí na 2 rovnaké polovice. Rovnakým spôsobom zhotovíme aj osi ďalších strán.

S – priesečník všetkých 3 osí strán – zároveň hľadaný stred opísanej kružnice

úsečky SA, SB, SC – spojnice stredu S a vrcholov 3-uholníka – určujú veľkosť polomeru r opísanej kružnice /SA/=/SB/=/SC/=r

A, B, C – vrcholy 3-uholníka a zároveň body dotyku – v nich sa opísaná kružnica dotýka 3-uholníka

K vypracovaniu úlohy budeme potrebovať tieto pomôcky:

• obyč. ceruzku s tvrdou tuhou (č. 3 alebo 4) na pomocné čiary

• kružidlo – na zhotovenie osí strán a opísanej kružnice

• pravítko s ryskou – na kontrolu kolmosti osí strán

• obyč. ceruzku s mäkkou tuhou (č. 1 alebo 2) na vytiahnutie hotového 3-uholníka

• mäkkú tuhu do kružidla na vytiahnutie hotovej opísanej kružnice – nie je nutnosť

• príp. uhlomer, ak zhotovujeme 3-uholník podľa vety SUS alebo USU

Príklad:

Zostroj kružnicu opísanú 3-uholníku ABC so stranami /AB/=8 cm, /BC/=9 cm a /AC/=7cm.

dané:

1. Najprv urobíme matematický zápis všetkého, čo jednoznačne poznáme. Podčiarkneme a pod čiaru si zapíšeme, čo máme urobiť.

/AB/=8 cm

/BC/=9 cm

/AC/=7 cm

___________

k (S, r) opísaná ▵ ABC

náčrt:

2. Voľnou rukou si načrtneme 3-uholník, ktorý máme zostrojiť a farebnou ceruzkou si zvýrazníme, čo poznáme. (Vyznačíme všetky strany, lebo ich máme dané, a pravé uhly, lebo o nich vieme, že sú pravé.)

postup konštrukcie a konštrukcia:

3. Podľa vety SSS zostrojíme ▵ABC. Následne nájdeme pomocou osí strán stred S. Kružidlo zapichneme do stredu S a pri všetkých 3 bodoch dotyku overíme presnosť rysovania – vzdialenosti by mali byť presne rovnaké. Napokon narysujeme opísanú kružnicu k (S, r=/SA/=/SB/=/SC/).

Všetko robíme tenkými pomocnými čiarami – tvrdou ceruzkou č. 3 alebo 4. Línie ťaháme dostatočne dlhé, priamky sa musia pretínať, aby sme sa neukrátili o nejaké ďalšie možné riešenie.

Hotový 3-uholník obtiahneme mäkkou ceruzkou č. 1 alebo 2 pre zvýraznenie, príp. aj kružnicu môžeme obtiahnuť mäkkou tuhou – samozrejme kružidlom.

1. AB, /AB/=8 cm

2. k1, k1(A, r=/AC/=7 cm)

3. k2, k2(B, r=/BC/=9 cm)

4. C, C∈k1∩k2

5. ▵ ABC

6. o1, o1 – os AB

7. o2, o2 – os BC

8. o3, o3 – os AC

9. S, S∈o1∩o2∩o3

11. k, k(S, r=/SA/=/SB/=/SC/)

Nezabudni, že pri konštrukčných úlohách je najdôležitejšia presnosť!

Pozn. Aj keď rozmery 3-uholníka nemusia byť vždy také veľké, je dobré nechať si na náčrt a konštrukciu dostatok priestoru, aby boli obrázky prehľadné.