KONŠTRUKČNÉ ÚLOHY VI. – Kružnica vpísaná do 3-uholníka

Úlohu riešime tak, že najskôr zostrojíme samotný 3-uholník podľa zadania a následne konštrukčne (bez pomocných číselných výpočtov) riešime hľadanú vpísanú kružnicu.

K zostrojeniu vpísanej kružnice k do 3-uholníka musíme vedieť určiť stred S vpísanej kružnice a jej polomer r. Stred S získame konštrukčne ako prienik osí všetkých 3 vnútorných uhlov 3-uholníka. Polomer r vpísanej kružnice získame konštrukčne ako prieniky kolmíc spustených zo stredu S na jednotlivé strany 3-uholníka – tzv. dotykové body T1, T2, T3, v ktorých sa vpísaná kružnica k zvnútra dotýka strán 3-uholníka.

Pri riešení takejto úlohy sa predpokladá základná znalosť konštrukcie 3-uholníka, preto už nie je podstatné spísanie príkladu v bodoch rozbor, postup konštrukcie, skúška, záver (riešenie je vždy len jediné). Najdôležitejšie a najnáročnejšie je samotné technické prevedenie úlohy. Skúška sa robí okulárne v bodoch dotyku – hneď vidno, či sa kružnica dotýka strany presne v 1 bode, alebo presahuje stranu, alebo sa nedotýka vôbec.

Popis k obrázku:

o1, o2, o3 – osi uhlov. Každý uhol má len jednu os, ktorá ho rozdeľuje na 2 rovnaké polovice. Os uhla zostrojíme pomocou kružnicových oblúkov nasledovne:

Najprv urobíme oblúk a1 (A, r=x) so stredom v bode A a ľubovoľným polomerom x. Do vzniknutých bodov X a Y zapichneme kružidlo a postupne urobíme oblúky a2 s rovnakým polomerom, ktorý by mal byť väčší ako polovica vzdialenosti XY – určíme odhadom okulárne. Bod Z je priesečník týchto 2 oblúkov a polpriamka AZ je os uhla CAB. Rovnakým spôsobom zhotovíme aj osi ďalších 2 uhlov.

S – priesečník všetkých 3 osí uhlov – zároveň hľadaný stred vpísanej kružnice

úsečky ST1, ST2, ST3 – kolmice vedené od stredu S na jednotlivé strany 3-uholníka – určujú veľkosť polomeru r vpísanej kružnice /ST1/=/ST2/=/ST3/=r

T1, T2, T3 – body dotyku – v nich sa vpísaná kružnica dotýka 3-uholníka

K vypracovaniu úlohy budeme potrebovať tieto pomôcky:

• obyč. ceruzku s tvrdou tuhou (č. 3 alebo 4) na pomocné čiary

• kružidlo – na zhotovenie osí uhlov a vpísanej kružnice

• pravítko s ryskou – na zhotovenie kolmíc

• obyč. ceruzku s mäkkou tuhou (č. 1 alebo 2) na vytiahnutie hotového 3-uholníka

• mäkkú tuhu do kružidla na vytiahnutie hotovej vpísanej kružnice – nie je nutnosť

• príp. uhlomer, ak zhotovujeme 3-uholník podľa vety SUS alebo USU

Príklad:

Zostroj kružnicu vpísanú 3-uholníku ABC so stranami /AB/=8 cm, /BC/=9 cm a /AC/=7cm.

dané:

1. Najprv urobíme matematický zápis všetkého, čo jednoznačne poznáme. Podčiarkneme a pod čiaru si zapíšeme, čo máme urobiť.

/AB/=8 cm

/BC/=9 cm

/AC/=7 cm

___________

k (S, r) vpísaná ▵ ABC

náčrt:

2. Voľnou rukou si načrtneme 3-uholník, ktorý máme zostrojiť a farebnou ceruzkou si zvýrazníme, čo poznáme. (Vyznačíme všetky strany, lebo ich máme dané, a tiež pravé uhly, lebo i nich vieme, že sú pravé.)

riešenie:

3. Podľa vety SSS zostrojíme ▵ABC. Následne nájdeme pomocou osí uhlov stred S a od neho vytiahneme kolmice a zistíme body dotyku T1, T2, T3. Kružidlo zapichneme do stredu S a pri všetkých 3 bodoch dotyku overíme presnosť rysovania – vzdialenosti by mali byť presne rovnaké. Napokon narysujeme vpísanú kružnicu k (S, r=/ST1/=/ST2/=/ST3/).

Všetko robíme tenkými pomocnými čiarami – tvrdou ceruzkou č. 3 alebo 4. Línie ťaháme dostatočne dlhé, polpriamky sa musia pretínať, aby sme sa neukrátili o nejaké ďalšie možné riešenie.

Hotový 3-uholník obtiahneme mäkkou ceruzkou č. 1 alebo 2 pre zvýraznenie, príp. aj kružnicu môžeme obtiahnuť mäkkou tuhou – samozrejme kružidlom.

Nezabudni, že pri konštrukčných úlohách je najdôležitejšia presnosť!

Pozn. Aj keď rozmery 3-uholníka nemusia byť vždy také veľké, je dobré nechať si na náčrt a konštrukciu dostatok priestoru, aby boli obrázky prehľadné.